退職手続きについていくつか教えてください。
結婚して転勤になる婚約者について行く為、仕事をやめます。入籍はまだです。

保険等手続きについてお伺いしたいのですが、私の会社は退職日が近いので名前の変更が間に合わないので、もし近々入籍しても会社は知らなかった事にしてほしいと言われました。
日にちがないので入籍は早くしたいのですが、会社黙認の入籍で保険等の手続きはうまく繋がるのでしょうか？
あと、このような理由は失業保険の給付制限から外れるのでしょうか？

「保険の手続き」は雇用保険のことでしょうか。
離職票記載の名前・住所が旧のままでも、現在の名前・住所が確認できる免許証などを持参すれば、ハローワークで変更してくれます。

失業給付の給付制限がなくなるかについては、ハローワークでの判断になります。
婚約者の転勤に伴う転居のため退職の場合、通勤不能であることと、在職中または退職後あまり日数が経たずに結婚していることという条件があると覆いますが、その条件をどのようにハローワークで判断するかが分かりませんので、あなたが手続きされる予定のハローワークに問い合わせてみられて、一番よい方法を選ばれるといいかなと思います。

今務めている会社を有給休暇をいただいて退職する予定ですが、 6月20日退職し、有給休暇を6月1日から消化し、20日が退職日となりますが、6月1日から新しい会社に勤めてもいいのでしょうか？宜しくお願いします。

就業規則等にもよりますが、 基本的はダメです。

たとえ やめる予定であっても そのやめる日までは 従業員です。
例えば 就業規則に兼業や副業禁止規定があれば、最悪の場合 懲戒解雇ということも 考えられなくはないのです。

もし 6/1から 働くのであれば 両者からの確認の一筆は とっておくべきでしょう。

年内で勤めている会社が経営悪化の為、解散閉鎖となります。
社員は解雇という事になるのですが、私がいる部署の人間で年明けより新会社を設立し、今までの仕事を継続していく予定です。
１２月３１日付けで解散となり、予定では年明け早々に新会社となる訳ですが、この場合、職安（失業保険）の一時金等を貰えないのでしょうか？
一応、解雇となる訳ですから、もし頂けるのでしたら貰いたいと思ってます。
経営悪化という事ですから、退職金もボーナスも今の会社からは貰えないという事で困っています。

失業保険。今は雇用保険といいます

雇用保険は失業していて求職活動をしている人を
支援するための制度です
あなたの場合離職理由が解雇とはいえ、
次の就職先が決まったいて、求職活動の必要がありません
求職活動の必要のない人には制度上支給されません
一時金も支給されることはありません

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